Винчиќ ја започна меѓународната кариера во 2010 година. Две години подоцна беше дел од Европското првенство како шести судија, а во 2013 година го водеше финалето на ЕП за играчи до 17 години во Словачка. Првиот натпревар од елиминациската фаза во Лигата на Европа го судеше во 2015 година, за веќе следната сезона дебитираше и во Лигата на шампионите.
Најголемите успеси ги достигна во последните неколку години, кога по полуфиналните и финалните предизвици во европските купови, ја доби довербата да го суди финалето на Светското првенство — натпревар кој стана последен во неговата богата кариера.
Покрај спортските успеси, кариерата на Словенецот ја одбележа и скандалот од пред шест години во Босна и Херцеговина. Во 2020 година, Винчиќ беше приведен за време на полициската акција „Кристал“ во Бијељина, насочена против организирана проституција, трговија со дрога и поседување оружје, во која меѓу уапсените беше и српската старлета Тијана Максимовиќ (Тијана Ајфон).
По сослушувањето, Винчиќ беше пуштен без никаква обвинителна пријава, а за регионалните медиуми и словенечкиот портал 24ur.com објасни дека на настанот се нашол случајно, по деловен состанок:
„Освен што сум фудбалски судија, со години имам своја компанија. Бев на службен пат во БиХ на деловен состанок, а потоа прифатив покана која се претвори во најголемата грешка во мојот живот, за која искрено жалам.“
